正态分布期望和方差的计算公式检验正态分布方法的汇总

在数据分析过程中，往往需要数据服从正态分布，正态分布，也称“常态分布”，又名高斯分布，在求二项分布的渐近公式中得到。很多方法都需要数据满足正态分布，比如方差分析、独立t检验、线性回归分析（因变量）等。如果说没有这个前提可能会导致分析不严谨等等。所以进行数据正态性检验很重要。那么如何进行正态性检验？接下来进行说明。

一、检验方法
SPSSAU共提供三种正态性检验的方法，分别是描述法、正态性检验以及图示法，其中图示法包括直方图以及P-P/Q-Q图。

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1.1描述法

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理论上讲，标准正态分布偏度和峰度均为0，但现实中数据无法满足标准正态分布，因而如果峰度绝对值小于10并且偏度绝对值小于3，则说明数据虽然不是绝对正态，但基本可接受为正态分布。从上表可以看出例子中峰度为1.160绝对值小于10，偏度为-1.084绝对值小于3 。说明数据基本可以接受为正态分布。
1.2 正态性检验
SPSSAU的正态性检验包括三种：正态性shapro-WiIk检验、正态性Kolmogorov-Smirnov检验和Jarque-Bera检验。

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背景简单描述：调查一个班级的53名学生的身高，判断搜集的数据是否满足μ=140.79，σ=8.6的正态分布。

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由于n>50,所以检验方法选择K-S检验或者J-B检验。如果利用K-S检验进行证明，步骤如下：

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H0：x服从μ=140.79，σ=8.6的正态分布
H1：x不服从μ=140.79，σ=8.6的正态分布
附表如下：

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（图片来源于：网络侵删）
因为样本超过35，并且α=0.05，所以D约为1.36/

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≈0.187；
相应指标
首先计算K-S检验中的D统计量，计算公式如下：

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【D=maxleft{D^{+}, D^{-}ight}】

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【D^{+}=left|F_{n}left(x_{(k)}ight)-F_{0}left(x_{(k)}ight)ight|】

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【D^{-}=left|F_{n}left(x_{(k)}ight)-F_{0}left(x_{(k-1)}ight)ight|】
首先将数据按从小到大进行排序,用x进行描述，k代表次序，然后计算其标准化的数据，标准化公式为：
【x^{prime}=rac{x-mu}{sigma}】
接着算出每个数据的频次，并记录好累积频次，然后计算

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【F_{n}left(x_{(k)}ight)】，

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(N为累积频次)，n为样本量即例子中的53 。

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【F_{0}left(x_{(k)}ight)】为给定的累计分布可以利用excel自行算出，函数为：‘=NORM.DIST(x，mean，sd，TRUE)mean和sd就为mu和sigma 。进而可以求出

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和

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；各个步骤的计算如下：
【正态分布期望和方差的计算公式检验正态分布方法的汇总】

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所以可以算出D为0.218，D大于0.187，所以拒绝原假设，接受备择假设所以不满足。
同时可以使用SPSSAU进行检验更为方便，数据格式如下：

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将数据上传到SPSSAU进行分析，操作如下：

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分析结果如下：

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从上述结果得到，样本量大于50，所以选择K-S检验，发现统计量D为0.218（和计算的一样），p值小于0.05，所以模型显著，拒绝原假设，数据不服从正态分布。
同时SPSSAU还提供了JB检验：

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Jarque-Bera检验中，p值小于0.05，所以模型显著，拒绝原假设，数据不服从正态分布（针对SPSSAU提供统计量为卡方值的原因:有证明显示在正态性假定下，JB统计量渐近地服从自由度为2的卡方分布）。
1.3 图示法
直方图

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直方图若呈现‘中间高，两边低，左右基本对称的钟形图’则基本服从正态分析，但是数据量过少等也可能影响结果导致很难呈现出标准的正态分布，如果是这种情况如果看见‘钟形’也可以可以接受的。上图可以看出，数据呈现的分布并不对称，但是也出现近似‘钟形’曲线，所以也可以勉强接受。
P-P图

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P-P图是将观察累积概率作为X轴，将正态累积概率作为Y轴，作散点图，反映实际累积概率与理论累积概率的符合程度。如果散点分布近似‘对角线’则可以认为正态分布，从图中可以看出数据散点分布不是很满足要求，但是也近似为‘对角线’所以勉强接受。
Q-Q图

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Q-Q图和P-P图功能一致，分析上大致没有区别。
二、如何进行正态性检验
SPSSAU分析位置
（1）通用方法板块
SPSSAU【通用方法】→描述/SPSSAU【通用方法】→正态性检验；

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（2）可视化板块
SPSSAU【可视化】→直方图/SPSSAU【可视化】→p-p/q-q图；

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三、其它学习资料
正态性检验视频学习资料：https://www.bilibili.com/video/av69017119/
直方图分析方法视须解渎：https://www.bilibili.com/video/av69465913/
P-P/Q-Q图分析方法视频解读：https://www.bilibili.com/video/av69468707/
四、非正态数据怎么办
针对上述几种方法，正态性检验最为严谨，但是实际数据由于样本量较少等原因，即使数据总体正态但统计检验出来也显示非正态，实用性没有图示法直观且接受性没有图示法高，所以在分析中常常图示法应用的比较多，如果在分析中数据严重不正态应该怎么办呢？接下来进行说明。
（1）将数据取对数处理
注意：原数据需要数据大于0，如果不满足也可以取lg（x+k）等。
（2）开根号
（3）取倒数
当数据波动较大时可以优先考虑
（4）Johnson转换
（5）计量经济学中常用的BOX-COX变换
（6）移除可能异常值
通常情况下，数据经过处理会变得相对“正态”一些；此步可使用SPSSAU的“生成变量”功能即可完成。