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函数的性质有哪些，函数的四大基本性质

小知识


函数的性质 一、有界性
【函数的性质有哪些，函数的四大基本性质】定义：设函数 f(x) 在数集 A 有定义， 若函数值的集合 f（A） = { f(x) ∣ x ∈ A} 有上界 （有下界、有界）， 则称函数 f（x）在
A 有上界（有下界、有界）， 否则称函数 f（x）在 A 无上界（无下界、无界） 。
1、函数 f（x）在 A 有上界 ，  存在 b ∈ R ， 对任意的 x ∈ A , 有 f（x）≤ b ；
2、函数 f（x）在 A 有下界 ，  存在 a ∈ R ， 对任意的 x ∈ A , 有 f（x）≥ a ；
3、函数 f（x）在 A 有界 ，  存在 M > 0 ， 对任意的 x ∈ A , 有 ∣ f（x）∣≤ M 。
二、单调性
定义：设函数 f（x）在数集 A 有定义 。
若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ， 且 x1 < x2 ， 有 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2) , 称函数 f（x）在 A 严格增加 或 严格减少  。
若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ， 且 x1 ≤ x2 ， 有 f(x1) ≤ f(x2) 或 f(x1) ≥ f(x2) , 称函数 f（x）在 A 单调增加 或 单调减少  。
三、奇偶性
定义：设函数 f（x）定义在数集 A 。
若 对任意的 x ∈ A ， 有 - x ∈ A , 且 f（- x） = - f（x）， 则称函数 f（x）是 奇函数 ；
若 对任意的 x ∈ A ， 有 - x ∈ A , 且 f（- x） = f（x）， 则称函数 f（x）是 偶函数  。
注：奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于 y 轴对称 。
四、周期性
1、定义：设函数 f（x）定义在数集 A 。
若 存在 T > 0 ， 对任意的 x ∈ A ， 有 x ± T ∈ A , 且 f（ x ± T） = f（x）， 则称函数 f（x）是 周期函数 ， T 为函数 f（x）的一个 周期  。
注：若 T 是 函数 f（x）的周期， 则 nT （n是正整数）也是它的周期 。 若函数 f（x）有最小的正周期， 通常将这个最小正周期称为函数f（x）的基本周期， 简称为周期 。
扩展资料：

确定函数定义域的方法：
1、关系式为整式时， 函数定义域为全体实数；
2、关系式含有分式时， 分式的分母不等于零；
3、关系式含有二次根式时， 被开放方数大于等于零；
4、关系式中含有指数为零的式子时， 底数不等于零；
5、实际问题中， 函数定义域还要和实际情况相符合， 使之有意义 。
参考资料来源：

函数的性质有哪些 定义域， 值域， 单调性， 奇偶性， 周期性 。 通常函数考试的基本内容都在这几个方面出题 。
函数的四大性质的基本初等函数有哪些

  1. 抛物线是轴对称图形 。 对称轴为直线x = -b/2a 。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。 特别地， 当b=0时， 抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
  2. 抛物线有一个顶点P， 坐标为P ( -b/2a ， (4ac-b^2)/4a ) 当-b/2a=0时， P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时， P在x轴上 。
  3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小 。 当a＞0时， 抛物线向上开口；当a＜0时， 抛物线向下开口 。 |a|越大， 则抛物线的开口越小 。
  4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 。 当a与b同号时（即ab＞0）， 对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0）， 对称轴在y轴右 。
  5. 常数项c决定抛物线与y轴交点 。 抛物线与y轴交于（0， c）
  6. .抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时， 抛物线与x轴有2个交点 。 Δ= b^2-4ac=0时， 抛物线与x轴有1个交点 。 Δ= b^2-4ac＜0时， 抛物线与x轴没有交点 。 X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 乘上虚数i， 整个式子除以2a） 当a>0时， 函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数， 在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时， 抛物线的对称轴是y轴， 这时， 函数是偶函数， 解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

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